¡Saludos, fervientes lectores!

Y bienvenidos de nuevo a nuestra humilde morada. No es éste el post que os prometí sobre las matemáticas del poker aplicadas al juego con proyectos. Aunque, ciertamente, lo que os voy a contar hoy sí tiene una cierta carga matemática y, sobre todo, estadística. Y es que he decidido -ya que ayer estuve comentando mis gráficas de ganancias en las mesas de cash de NL5 y NL10- traeros hoy un post que tiene dos objetivos principales: por un lado, hacer un análisis matemático un poco más riguroso de cuán ganador soy en las mesas; por el otro, mostrar la increíble varianza que puede llegar a tener el juego del No Limit Hold'em.

INTERVALOS DE CONFIANZA

Así es. Para los más avezados en estadística, esto es algo que tendrán absolutamente dominado. Pero no os preocupéis los que no tengáis esos conceptos tan claros, pues voy a explicar esto de la forma más sencilla posible y sin entrar en demostraciones de ningún tipo.

Muchas veces se oye decir por ahí: "soy ganador en NL5 a 5.5 BBs/100 hands en 12581 manos" (como veis, he cogido mis propios datos, para que tengáis un ejemplo real) pero, ¿cómo de fiable es ese dato? ¿Son realmente suficientes 12581 manos para asegurar que somos ganadores en NL5? ¿O podría ser meramente el fruto de la varianza y una buena racha? ¿Es nuestro juego realmente ganador?

Para responder a todas esas preguntas, voy a coger solamente 3 datos del Hold'em Manager:

Tenemos el número de manos, el winrate y la desviación estándar:

Asumimos, para empezar, que el total de manos que podríamos llegar a jugar en NL5 es una población que sigue una distribución normal, con media "M" y desviación típica "SD", ambas desconocidas. Esto no resulta nada descabellado por el Teorema Central del Límite, pero no vamos a entrar aquí en esas divagaciones.

El caso es que si tomamos una muestra -de tamaño "n"- de esa población, que tendrá su media "Mn" y su desviación típica "SDn", devolvemos la muestra y tomamos otra del mismo tamaño, que tendrá su media "Mn" y desviación típica "SDn" distintas de la anterior, devolvemos la muestra y tomamos otra... y así sucesivamente, resulta entonces que la variable aleatoria "Mn" (media muestral) que hemos obtenido por ese procedimiento sigue también una distribución normal de media "M" (la misma que la media poblacional) y desviación típica "SD/sqrt<n>".

Sabiendo eso, tomamos el número de manos que hemos jugado hasta el momento como una muestra -de tamaño "n", con media "Mn" y desviación típica "SDn", ambas conocidas (son los datos que hemos sacado del Hold'em Manager)- y, con esa única muestra, tenemos que intentar calcular la media poblacional "M" (que sería el winrate que corresponde a nuestro juego si jugásemos todas las posibles manos que podríamos llegar a jugar en NL5) dentro de unos ciertos márgenes de error que no podremos evitar.

Ahora que, más o menos, he explicado en líneas generales lo que tenemos y lo que queremos calcular, voy a saltarme todos los pasos intermedios y el cómo se hace (no creo que aporten nada interesante) para ir directamente al resultado y no saturaros demasiado con demostraciones que, seguramente, no os interesan.

PRIMERA OPCIÓN: suponemos que la desviación típica poblacional "SD" es desconocida y distinta de la desviación típica muestral "SDn", que es la que conocemos del Hold'em Manager.

Dado un nivel de confianza (o nivel de significación) "1-a", sabemos que la media poblacional "M" estará contenida, con una probabilidad del (100 · (1-a))%,  en el intervalo:

donde "t (1-a/2; n-1)" es la inversa de la función de probabilidad acumulada de la distribución t-Student con "n-1" grados de libertad para una probabilidad de "1-a/2".

Aplicándolo a nuestro caso, en el que:

Mn = 0.0551 BBs/hand
SDn = 6.477 BBs/sqrt<hand>
n = 12581 hands

Si tomamos, por ejemplo, un margen de error del 10%:

a = 10 / 100 = 0.1;
luego: 1-a = 0.9; ó, lo que es lo mismo, tenemos un nivel de confianza del 90%.

Tendremos:

t (1-a/2; n-1) = 1.644975
con lo que la semiamplitud del intervalo será de 0.09499 BBs/hand

Podemos asegurar, por tanto, que nuestro winrate esperado (si seguimos jugando en NL5) tendrá un 90% de probabilidades de estar comprendido entre -4 BBs/100 hands (5.5 - 9.5, aproximadando los resultados) y +15 BBs/100 hands (5.5 + 9.5). No es mucho decir, ¿verdad? ¡Menudas diferencias de uno a otro extremo!

Esto da una idea de la gran varianza asociada al No Limit Hold'em. Para cerrar un poco el intervalo nos vemos obligados a trabajar con niveles de confianza mucho menores: esto es, asumir que podemos estar cometiendo errores relativamente grandes en cuanto a nuestro nivel esperado de ganancias. ¡No existe la seguridad absoluta en el poker! ¡Y menos en el No Limit Hold'em! De ahí la gran importancia de una correcta gestión del bank: debemos ser capaces de soportar los downs cuando lleguen, porque podéis dar por hecho que llegarán.

SEGUNDA OPCIÓN: suele ser más habitual, no obstante, asumir que la desviación típica muestral "SDn" coincide con la desviación típica poblacional "SD". Los estadísticos dicen, si no recuerdo mal, que la desviación típica muestral es un estimador insesgado de la desviación típica, por lo que esa suposición tiene toda la lógica.

Dado un nivel de confianza (o nivel de significación) "1-a", sabemos que la media poblacional "M" estará contenida, con una probabilidad del (100 · (1-a))%, en el intervalo:

donde "K (1-a/2)" es la inversa de la función de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar (media nula y desviación típica unitaria) para una probabilidad de "1-a/2".

Volviendo al ejemplo anterior, con el mismo nivel de confianza del 90%, tendremos ahora:

K (1-a/2) = 1.644854
con lo que la semiamplitud del intervalo volverá a ser de 0.09498 BBs/hand

Resulta que con la aproximación de asumir que las desviaciones típicas de muestra y población son coincidentes simplificamos bastante los cálculos (la función de distribución normal se puede calcular incluso en Excel) y obtenemos resultados prácticamente idénticos, por lo que parece lógico hacer siempre esa simplificación. Sólo en casos en los que nuestro historial tenga muy pocas manos habrá diferencias notables entre uno y otro método, pues la distribución t-Student converge hacia la distribución normal estándar cuando el número de grados de libertad va creciendo.

La otra gran pregunta que podemos responder aplicando estos intervalos de confianza es: ¿qué probabilidad tengo que de mi winrate sea mayor que 2 BBs/100 hands, por ejemplo? Veámoslo:

Lo primero sería calcular la semiamplitud del intervalo que tiene el 2 BBs/100 hands en el extremo inferior:

winrate - extremo inferior del intervalo = semiamplitud del intervalo =
= 5.5 - 2 = 3.5 BBs/100 hands = 0.035 BBs/hand

Ahora, calcularemos nuestro nivel de confianza para el susodicho intervalo [0.055 - 0.035; 0.055 + 0.035]:

donde "P(x)" es la función de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar.

Por lo que tenemos un 54.444% de que nuestro winrate esperado en NL5 esté comprendido entre 2 BBs/100 hands y 9 BBs/100 hands. Sin embargo, si fuera mayor que 9 BBs/100 hands también nos interesaría (tampoco está mal tener unas ganancias desorbitadas, ¿no?), por lo que al porcentaje anterior tenemos que sumar la probabilidad de que nuestro winrate esperado esté por encima de las 9 BBs/100 hands.

Esto resulta la mar de sencillo, puesto que la distribución normal es simétrica y, por tanto, podemos asegurar que es tan probable que nuestro winrate esté por encima de 9 BBs/100 hands como que esté por debajo de 2 BBs/100 hands. De este modo, lo único que hay que hacer es sumar al porcentaje que ya tenemos la mitad del que nos falta. Me explico:

Probabilidad de winrate mayor que 2 BBs/100 =
= (Prob. de winrate en el intervalo [2, 9] BBs/100) + (Prob. de winrate mayor que 9 BBs/100) =
= (Prob. de winrate en el intervalo [2, 9] BBs/100) + ((Prob. de winrate FUERA del intervalo) / 2) =
= 54.444% + ((100% - 54.444%) / 2) = 77.222%

¿Y es esto suficiente? Pues para mí sí, claro está. Si no, no estaría jugando ahora en NL10. Como veis, aquí es inevitable una cierta subjetividad a la hora de definir el nivel de confianza necesario para considerarnos verdaderamente ganadores: puede haber quien quiera asegurarse más y necesite jugar 40 000 manos antes de subir de nivel y puede haber quien con sólo 4 000 manos ya se sienta suficientemente seguro.

Lo único importante, al final, es ser capaz de bajar de nivel cuando toca. Si subes de nivel con muy pocas manos, es posible que tu juego no sea tan ganador como crees y fuera sólo una buena racha. Por lo que tienes que estar dispuesto a bajar de nivel rápidamente si ves que en el nivel superior empiezas a perder dinero. Estás asumiendo un mayor riesgo a cambio de una mayor ganancia (como pasa casi siempre), por lo que es posible que tengas que subir y bajar de nivel varias veces hasta conseguir asentarte. Si tienes la disciplina suficiente como para hacerlo, no es necesario tampoco buscar un niveles de confianza del 99% para jugar un límite superior: ¡puedes eternizarte jugando cientos de miles de manos en el límite actual para conseguirlo!

Eso es todo, amigos. Espero que os haya gustado y lo encontréis interesante. Sé que puede hacerse un poco denso y pesado la primera vez, pero luego no es tan complicado como parece, y ayuda mucho a esclarecer si estás pasando por una buena racha o es que realmente eres tan bueno como parece.
;-)

¡Suerte a todos y nos vemos por las mesas!
Un saludo.

"Peque85"